Ερμηνεύοντας το Άπειρο

Η μαθηματική, φιλοσοφική και φυσική εξήγηση της έννοιας του απείρου ταλανίζει, τόσο τους πιο καταξιωμένους επιστήμονες όσο και τους κοινούς ανθρώπους. Ας πάμε λοιπόν να ανακαλύψουμε μαζί αυτό το άγνωστο για εμάς "άπειρο".

Κεφάλαιο 1: 

ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΝΑΙ…

Ο οποιοσδήποτε αριθμός είναι ασήμαντος μπροστά στο άπειρο.

ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ?

Στα μαθηματικά αν μπορείς να σκεφτείς κάτι και να φτιάξεις κανόνες για τον χειρισμό του, τότε υφίσταται. Η έννοια όμως του απείρου στερείται κάθε λογικής και μας οδηγεί σε πολλά παράδοξα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ ΤΟΥ HILBERT

Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Είναι πολύ δημοφιλές. Όλα τα δωμάτια είναι πάντα κλεισμένα. Όμως υπάρχουν άδεια δωμάτια. Ένα βράδυ, έρχεται ένας νέος πελάτης. Χτυπάει το κουδούνι. «Θέλω ένα δωμάτιο.». Η διευθύντρια λέει «Έχουμε δωμάτιο στο Άπειρο Ξενοδοχείο. Παρακαλώ, περιμένετε λίγο.» Η διευθύντρια ανακοινώνει από τα μεγάφωνα: «Παρακαλώ, μαζέψτε τα πράγματά σας. Ετοιμαστείτε να μετακομίσετε στο επόμενο δωμάτιο.» Το δωμάτιο 1 μετακομίζει στο 2. Το δωμάτιο 2 μετακομίζει στο 3. Όλα τα δωμάτια είναι γεμάτα, θα δημιουργηθεί πρόβλημα. Όμως στο άπειρο ξενοδοχείο αυτό είναι εφικτό. Πάντα υπάρχουν δωμάτια. Το 1 πάει στο 2, το 2 στο 3, το 1.000.000 στο 1.000.001. Όλοι μετακομίζουν στο επόμενο δωμάτιο, οπότε ο νέος πελάτης μπορεί να πάει στο δωμάτιο 1. Αν μείνουν όλοι στα δωμάτιά τους και ο νέος πελάτης πάει στο τελευταίο; Ναι. Ο νέος πελάτης θα μπορούσε να πάει στο τελευταίο δωμάτιο. Γιατί να μετακομίζουν όλοι οι άλλοι; Όμως δεν υπάρχει τελευταίο δωμάτιο. Το άπειρο δεν λειτουργεί έτσι. Ξεκινάς πάντα από την αρχή γιατί δεν υπάρχει τέλος.

Το επόμενο βράδυ η διευθύντρια έχει πάλι πρόβλημα. Αντί να εμφανιστεί μόνο ένας νέος πελάτης, ξαφνικά καταφτάνει ένα γεμάτο λεωφορείο με κουρασμένους και κακόκεφους πελάτες που χτυπάνε το κουδούνι ταυτόχρονα και φωνάζουν «Θέλουμε δωμάτια». Υπάρχουν άπειροι νέοι πελάτες. Και όλοι θέλουν δωμάτιο στο ξενοδοχείο. Πώς θα βολευτούν; Πώς θα βρεθούν δωμάτια για άπειρους νέους πελάτες, εφόσον τα άπειρα δωμάτια είναι κατειλημμένα; Αυτό έχει ξανασυμβεί στην διευθύντρια, οπότε φωνάζει από τα μεγάφωνα: «Ετοιμαστείτε γιατί σε λίγα λεπτά θα μετακομίσετε στο δωμάτιο με τον διπλάσιο αριθμό.». Το δωμάτιο 1 θα μετακομίσει στο 2. Το δωμάτιο 2 θα μετακομίσει στο 4. Το δωμάτιο 3 θα μετακομίσει στο 6. Όλοι οι πελάτες μετακομίζουν στα νέα τους δωμάτια, και τα δωμάτια που λήγουν σε μονό αριθμό είναι ελεύθερα. Είναι έτοιμα να υποδεχθούν τους νέους πελάτες.

Στο Άπειρο Ξενοδοχείο η διευθύντρια είναι πολύ ευσυνείδητη και πάντα ελέγχει τα άπειρα δωμάτια. Ευτυχώς είναι πολύ γρήγορη και η δουλειά τελειώνει σε ένα λεπτό. Ο έλεγχος του δωματίου 1 διαρκεί 30 δευτερόλεπτα και ο έλεγχος του δωματίου 2 διαρκεί 15 δευτερόλεπτα. Ο έλεγχος του δωματίου 3 διαρκεί 7,5 δευτερόλεπτα και ούτω καθεξής μέχρι το τέλος του διαδρόμου. 

Αν το σκεφτείτε καθώς πλησιάζουμε προς το άπειρο, το άθροισμα θα είναι 1.

Η διευθύντρια θα ελέγξει άπειρα δωμάτια μέσα σε ένα λεπτό.

Πώς επιστρέφει από το άπειρο; Είναι ένας ενδιαφέρον γρίφος. Πού είναι το τελευταίο δωμάτιο; Μη με ρωτάτε. Είναι στο τέλος ενός διαδρόμου με άπειρο μήκος και δεν ξέρω πώς θα καταφέρει να επιστρέψει. Είναι ένα παράξενο ξενοδοχείο.

Πιστεύω ότι το ηθικό δίδαγμα αυτής της παραβολής είναι ότι το άπειρο δεν συμπεριφέρεται φυσιολογικά. 

Δεν μπορούμε να κατανοήσουμε πώς λειτουργεί το άπειρο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: 

Άπειρο συν άπειρο ίσον άπειρο

Το άπειρο είναι το μεγαλύτερο δυνατό πράγμα.

Αν είναι το μεγαλύτερο πράγμα και προσθέσουμε 1 παραμένει άπειρο; Ίσως.

Τι θα συμβεί αν αφαιρέσουμε το άπειρο από τις δύο πλευρές;

Τότε το 1 ισούται με το 0. Αυτομάτως δημιουργείται πρόβλημα.

Άλλο παράδοξο είναι ότι αν προσθέσεις άπειρο στο άπειρο θα ισούται με άπειρο.

Τι θα συμβεί αν αφαιρέσουμε το άπειρο πάλι από τις δύο πλευρές;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.141592653589793238462643383279:

Το άπειρο είναι κύκλος

Ο κύκλος θεωρείται το πιο τέλειο σχήμα. Όμως πόσες πλευρές και πόσες γωνίες έχει ένας κύκλος; Αμέσως αντιμετωπίζουμε το ζήτημα με το άπειρο, γιατί ένας κύκλος δεν αποτελείται από ευθείες γραμμές.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ο ΤΡΟΧΟΣ

Ένα τρίγωνο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν τροχός. Αν το τρίγωνο είχε 10 γωνίες (δεκάγωνο), τα πράγματα θα ήταν πολύ πιο εύκολα. Και αν συνεχίσουμε με αυτή την λογική, αν είχαμε άπειρες πλευρές, τότε θα μιλάγαμε για έναν κύκλο με άπειρες γωνίες και θα ήταν σαν να μην είχε καθόλου γωνίες. Οπότε, με κάποιον τρόπο, το άπειρο ξαφνικά μοιάζει με το 0. 

Μια από τις ιδιότητες του απείρου είναι ότι παραμένει άπειρο αν πολλαπλασιαστεί σε κλίμακα, ενώ ένας πεπερασμένος αριθμός όταν πολλαπλασιαστεί, μεγαλώνει.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΟΙ ΙΣΟΙ ΚΥΚΛΟΙ

Ας σκεφτούμε τον κύκλο ως ένα σύνολο από σημεία (γιατί αυτό είναι, ένα σύνολο από σημεία). Θα προσπαθήσω να σας πείσω ότι ένας μικρός κύκλος, ένας κύκλος με ακτίνα ίση με 1, έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με έναν μεγάλο κύκλο, με ακτίνα 1.000.000.000. Για να αποδειχθεί αυτό πρέπει να συμφωνήσουμε τι σημαίνει ίδιο μέγεθος. Προτείνω ότι 2 σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος αν τα επιμέρους στοιχεία τους έχουν αντιστοιχία ένα προς ένα. Απομένει να σας δώσω έναν κανόνα που θέτει τα σημεία ενός μικρού κύκλου σε αντιστοιχία με τα σημεία ενός μεγαλύτερου. 

Παίρνω τον μικρό κύκλο και ορίζω το κέντρο του σε ένα συγκεκριμένο σημείο, που είναι και το κέντρο του μεγαλύτερου κύκλου. Από αυτό το κεντρικό σημείο θα σχεδιάσω όλες τις ακτίνες. Η κάθε ακτίνα τέμνει τον εξωτερικό κύκλο σε ένα σημείο, όπως και τον εσωτερικό κύκλο. Αυτή είναι η αντιστοιχία. Οι ακτίνες περνούν από κάθε σημείο του μικρότερου κύκλου και δημιουργούν ζεύγη με τα αντίστοιχα του μεγαλύτερου κύκλου. Αν οι ακτίνες καλύψουν όλη την επιφάνεια, τότε ακουμπούν όλα τα σημεία και των δύο κύκλων. Άρα, έχουμε μια τέλεια αντιστοιχία 1 προς 1. Επομένως, οι δύο κύκλοι έχουν το ίδιο μέγεθος…

Υπάρχει όμως σύγκριση ανάμεσα στα άπειρα;

Αν πάρουμε το σύνολο των ακέραιων αριθμών και των δεκαδικών μέχρι το 1 ψηφίο μπορεί να υπάρχει αντιστοιχία, άρα τα δύο άπειρα σύνολα είναι ίσα.

0           1          2          3           4            5           6           7           8            9           10               ...

0          0,1      0,2       0,3        0,4         0,5        0,6        0,7       0,8          0,9          1                ...

Αν πάρουμε το σύνολο των ακέραιων αριθμών και το σύνολο όλων των αριθμών (συμπεριλαμβανομένων των π, e, και φ); 

Οι αριθμοί αυτοί δεν τελειώνουν ποτέ. Άρα δεν μπορεί να υπάρχει αντιστοιχία. Αυτό σημαίνει πως από τα 2 άπειρα σύνολα, ένα είναι μεγαλύτερο;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: 

Το άπειρο βρίσκεται κάπου

Υπάρχει τρόπος να μετρήσουμε το άπειρο; Όχι.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 

Το άπειρο είναι μικρό

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Η ΜΙΚΡΗ ΓΡΑΜΜΗ

Αν πάρω μια μικρή γραμμή, μπορώ να την κόψω στα 2, και μετά να την κόψω πάλι στα δύο και ούτω καθεξής. Η γραμμή θα υπάρχει για πάντα. Δεν θα σταματήσω. Ποτέ. Όμως το πραγματικό ερώτημα είναι αν θα υπάρχει συνέχεια στην πραγματικότητα. Ο χρόνος είναι συνεχής; Μπορεί να διαιρεθεί επ' άπειρο; Αν πάρουμε την γενική θεωρία της Σχετικότητας και την συνδυάσουμε με την κβαντική μηχανική καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει ένα ελάχιστο κομμάτι χώρου. Είναι απίστευτα μικρό. Είναι 10-33 cm. Το γνωστό μήκος Planck. Πόσο μικρό είναι το μήκος Planck; Ένα δέντρο για το ορατό σύμπαν είναι ότι ένα μήκος Πλανκ για ένα άτομο. Ακόμα και σε τέτοιες κλίμακες, ο χώρος αποτελείται από πάρα πολλά μικρά στοιχεία, αλλά δεν είναι συνεχής. Υπάρχει διαιρετότητα. Είναι πεπερασμένος.

Κεφάλαιο 6:

Το άπειρο είναι μια σκουληκότρυπα

Σύμφωνα με τη θεωρία της Σχετικότητας, αν περάσεις τον ορίζοντα γεγονότων μιας μαύρης τρύπας και συνεχίσεις να πέφτεις στη μαύρη τρύπα, θα φτάσεις στη σημειακή ανωμαλία.  Μια περιοχή όπου η κυρτότητα του χώρου είναι άπειρη. Εκεί συγκεντρώνεται όλη η μάζα της μαύρης τρύπας. Είναι ένα σημείο με άπειρη πυκνότητα. Σε πεπερασμένο χρόνο, μικροδευτερολέπτων, θα πέσεις στην περιοχή άπειρης κυρτότητας και πυκνότητας και απλά, θα πάψεις να υπάρχεις. Ξαφνικά δεν υφίστασαι στον φυσικό κόσμο. Οι νόμοι της φυσικής δεν ισχύουν. Ή υπάρχουν κάποιοι νέοι νόμοι της Φυσικής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΛΜΠΕΡΤ ΑΪΝΣΤΑΙΝ

Φανταστείτε ένα πλασματάκι που έχει 2 διαστάσεις (μήκος και πλάτος). Δεν έχει ύψος. Αυτό σημαίνει πως κατανοεί μόνο 2 από τις 3 διαστάσεις. Είναι σαν μια φλοίδα χαρτιού που έχει μόνο μήκος και πλάτος. Φανταστείτε λοιπόν αυτό το πλασματάκι να ζει σε έναν τρισδιάστατο κόσμο. Να ζει δηλαδή σε μια σφαίρα (όπως την Γη) και να περπατάει πάνω στην επιφάνεια της. Πότε θα σταματήσει; Ποτέ. Για τον λόγο αυτό θα θεωρεί πως ο κόσμος του είναι άπειρος. Στην πραγματικότητα όμως αυτό συμβαίνει γιατί δεν μπορεί να κατανοήσει την Τρίτη διάσταση – το ύψος. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει με εμάς και το σύμπαν. Το σύμπαν είναι τετραδιάστατο (μήκος – ύψος – πλάτος – χρόνος), ενώ εμείς μπορούμε να κατανοήσουμε μόνο τις 3 από τις 4 διαστάσεις (μήκος, ύψος και πλάτος). Για τον λόγο αυτό, κατά τον Αϊνστάιν, το Σύμπαν δεν είναι άπειρο, αλλά μας φαίνεται άπειρο γιατί δεν μπορούμε να κατανοήσουμε την πραγματικότητα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: 

Το άπειρο είναι μεγάλο

Τι θα γίνει σε ένα φυσικό σύστημα αν περιμένουμε επ' άπειρο;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΤΟ ΚΟΥΤΙ

Ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα κουτί. Τίποτα δεν βγαίνει, τίποτα δεν μπαίνει. Βάζουμε μέσα ένα μήλο και κλείνουμε το κουτί. 

Μετά από έναν μήνα, το μήλο θα αρχίσει να αποσυντίθεται. 

Σε έναν χρόνο θα έχει αλλοιωθεί τελείως. Τα βακτήρια θα έχουν κάνει τη δουλειά τους. Αν επιστρέψουμε σε εκατό χρόνια το μήλο θα έχει γίνει σκόνη. Το μήλο περιέχει χημική ενέργεια, την ίδια ενέργεια που μας δίνει όταν τρώμε ή το καίμε. Η ενέργεια κάποτε θα ελευθερωθεί και η θερμοκρασία μέσα στο κουτί θα αγγίξει τους χιλιάδες βαθμούς.

Αυτά τα σωματίδια θα συντηχθούν πυρηνικά. Θα πάρει πολλά χρόνια. Οι πυρηνικές αντιδράσεις αργούν σ' αυτές τις θερμοκρασίες, όμως κάποτε θα συμβεί. Το μήλο θα μεταμορφωθεί σε καυτό πλάσμα από υποατομικά σωματίδια που θα μεταμορφωθούν μέσω της καύσης.

Κάποτε θα δημιουργηθούν πυρήνες σιδήρου, και πολλά φωτόνια.

Πολλά δισεκατομμύρια χρόνια αργότερα, τα νετρόνια θα αποσυντεθούν σε πρωτόνια και άλλα υποατομικά σωματίδια και θα παραμείνουν εκεί για πάρα πολλά χρόνια ακόμα. Ας σκεφτούμε αυτά τα πρωτόνια και νετρόνια. Πώς το βιώνουν αυτό; Συνεχίζουν να υπακούν στους νόμους της φυσικής. Η κατάσταση του κουτιού αλλάζει συνεχώς. Αν στο μήλο υπήρχαν 1024 σωματίδια, τότε έχουμε 10 εις την 1024 διαφορετικές καταστάσεις όπου ίσως βρίσκονται τα σωματίδια. Είναι τεράστιος αριθμός, αλλά όχι άπειρος.

Αυτό σημαίνει ότι αν αφήσουμε το κουτί επ' άπειρο, θα τις καταναλώσει όλες. Θα περάσει από όλες τις πιθανές καταστάσεις, και κάποτε θα ξαναπεράσει από όλες τις προηγούμενες καταστάσεις, επειδή δεν μπορεί να εξελιχθεί σε κάτι νέο. Και αν περιμένουμε πάρα πολύ καιρό, κάτι θα συμβεί. Αυτή είναι η δύναμη του απείρου πάνω στο πεπερασμένο. Κάποια στιγμή, θα ανοίξουμε το κουτί, και θα ξαναβρούμε το μήλο, στην κατάσταση που το αφήσαμε. Και αυτό θα συμβαίνει επ' άπειρο. Άρα το μήλο στην αρχική του μορφή, θα εμφανιστεί άπειρες φορές.

Γιατί να μας νοιάζει αυτό;

Ίσως επειδή μπορεί να είμαστε εμείς μέσα σε αυτό το κουτί. Ίσως το κουτί αυτό να είναι το Σύμπαν.

Σε κάθε γωνιά του διαστήματος, όπως το σύμπαν που ζούμε και μπορούμε να δούμε, υπάρχει πεπερασμένη ενέργεια που μεταφέρεται σε πεπερασμένα σωματίδια. Και αυτά τα σωματίδια δημιουργούν πεπερασμένο αριθμό διαφορετικών σχηματισμών. Υπάρχουν πεπερασμένοι διαφορετικοί τρόποι που θα ενωθούν αυτά τα σωματίδια. Αν το σύμπαν συνεχίζεται επ' άπειρο, αυτοί οι σχηματισμοί κάποτε θα επαναληφθούν. Και αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν αντίγραφά μας εκεί έξω. Άπειρα αντίγραφα που κάνουν ακριβώς ό,τι κάνουμε τώρα. Κάποια αντίγραφα συνεχίζουν να ζουν και κάποια άλλα πεθαίνουν. Οτιδήποτε μπορεί να συμβεί, θα συμβεί. Άπειρες φορές.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: 

Το άπειρο είναι αργό

Το φως χρειάζεται χρόνο για να φτάσει από το ένα σημείο στο άλλο. Αυτό σημαίνει ότι δεν βλέπουμε το τώρα, αλλά το παρελθόν. Όταν δηλαδή κοιτάμε τον έναστρο ουρανό βλέπουμε την ίδια στιγμή την εικόνα του Άρη πριν λίγα λεπτά και παράλληλα τα πιο μακρινά αστέρια, δισεκατομμύρια χρόνια πριν. Αστέρια που πιθανότατα δεν υπάρχουν καν πλέον. Υπάρχουν μέρη στο σύμπαν που αν στείλουμε σήμα τώρα, δεν θα φτάσει ποτέ. Το σύμπαν είναι τόσο μεγάλο που ο ανθρώπινος νους δεν θα καταφέρει ποτέ να κατανοήσει το μέγεθός του.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: 

Το άπειρο είναι παντοτινό

Από τα αρχαία χρόνια υπήρχε το ερώτημα: Αν μπορούσαμε να ταξιδεύουμε για πάντα στο διάστημα τι θα γινόταν; Είτε το σύμπαν είναι άπειρο και θα ταξιδεύαμε για πάντα, είτε είναι πεπερασμένο και θα βρίσκαμε έναν τοίχο. Όμως αν υπάρχει τοίχος, τότε θα μπορούσαμε να περάσουμε μέσα από τον τοίχο. Τι θα γινόταν μετά; Ο Αϊνστάιν είχε πει σε συνέντευξή του: «Το Σύμπαν μπορεί να είναι πεπερασμένο, αλλά χωρίς τοίχους, γιατί αν πάω προς μία κατεύθυνση, θα επιστρέψω από την αντίθετη κατεύθυνση.» Αυτό μας θυμίζει το παράδειγμα που είχε δώσει με το μικρό πλασματάκι στον δισδιάστατο κόσμο. Και υπάρχει μεγάλη περίπτωση το Σύμπαν να έχει όντως σφαιρικό σχήμα. 

Ίσως το Σύμπαν συνεχίσει να διαστέλλεται επ' άπειρο στο μέλλον. Το 1998 ανακαλύψαμε ότι το Σύμπαν όχι μόνο διαστέλλεται, αλλά και ο ρυθμός διαστολής όλο και αυξάνεται. Οι γαλαξίες απομακρύνονται με αυξανόμενη ταχύτητα (Hubble's law). Αυτό σημαίνει ότι κάποια στιγμή θα αποκοπούμε εντελώς από το υπόλοιπο σύμπαν, και μόλις η πεπερασμένη ενέργεια των αστέρων του Γαλαξία τελειώσει (που υπολογίζεται στα 100 δισεκατομμύρια χρόνια) η ζωή στον Γαλαξία θα πάψει να υφίσταται.

Επιστήμονες στους οποίους έχει βασιστεί η εργασία:

Alan Lightman - Φυσικός (Καθηγητής MIT)

Carlo Rovelli - Θεωρητικός Φυσικός (Έδρα Διακεκριμένης Έρευνας Perimeter Institute)

Steven Strogatz - Μαθηματικός (Προεδρικό Βραβείο Νέων Ερευνητών από το Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών)

Rebecca Goldstein - Φιλόσοφος (Εθνικό Μετάλλιο Ανθρωπιστικών Σπουδών, Εθνικό Βραβείο Εβραϊκού Βιβλίου)

Delilah Gates - Θεωρητική Φυσικός (Associate Research Scholar στο Princeton)

Stephon Alexander - Κοσμολόγος (Καθηγητής Penn State, Haverford College, Dartmouth College, Brown University)

Anthony Aguirre - Θεωριτικός Φυσικός (Προεδρική Έδρα Faggin Presidential Chair for the Physics of Information στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια)

Moon Duchin - Μαθηματικός (Καθηγήτρια Πανεπιστήμιο Tufts στο Medford της Μασαχουσέτης)

Eugenia Cheng - Μαθηματικός (Καθηγήτρια Πανεπιστήμιο Νίκαιας Sophia Antipolis, Πανεπιστήμιο του Σέφιλντ, Πανεπιστήμιο του Σικάγο)

Kenny Easwaran - Φιλόσοφος (Αναπληρωτής Καθηγητής Φιλοσοφίας Πανεπιστήμιο A&M του Τέξας)

Brian Greene - Φυσικός (Καθηγητής Πανεπιστήμιο Cornell, Πανεπιστήμιο Columbia)

Janna Levin - Θεωρητική Κοσμολόγος (Καθηγήτρια Barnard College)

Πηγή: Ντοκιμαντέρ «Ταξίδι στο Άπειρο»