Το παράδοξο των Γενεθλίων
23 άτομα βρίσκονται σε ένα δωμάτιο. Ποια η πιθανότητα 2 από αυτούς να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια;
Πιθανότατα να σκεφτόσουν: Έχουμε 23 άτομα και 365 μέρες του χρόνου, άρα η πιθανότητα είναι 6,3%.
Κι όμως, η υπόθεση αυτή είναι λάθος! Στην πραγματικότητα η πιθανότητα είναι 50%.
Το παράδοξο των Γενεθλίων
Το Παράδοξο των Γενεθλίων είναι ένα από τα πιο γνωστά και εντυπωσιακά παραδείγματα πιθανοτήτων στα μαθηματικά. Ενώ το όνομα του υπονοεί ένα «παράδοξο», πρόκειται στην πραγματικότητα για ένα φαινόμενο που βασίζεται στην ανθρώπινη τάση να υποτιμά τη στατιστική πιθανότητα να συμβεί κάτι.
Το παράδοξο αυτό διερευνά την πιθανότητα δύο άτομα σε μια ομάδα να έχουν τα ίδια γενέθλια. Το ερώτημα που θέτει είναι το εξής: Πόσα άτομα χρειάζονται σε μια ομάδα για να υπάρχει τουλάχιστον 50% πιθανότητα δύο από αυτά να έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης;
Οι περισσότεροι άνθρωποι θα περίμεναν ότι ο αριθμός θα πρέπει να είναι περίπου 180 ή και περισσότερο, δεδομένου ότι υπάρχουν 365 διαφορετικές ημέρες μέσα σε ένα έτος. Ωστόσο, το αποτέλεσμα είναι πολύ πιο εντυπωσιακό: Αρκούν μόλις 23 άτομα για να υπάρχει μεγαλύτερη από 50% πιθανότητα δύο να έχουν τα ίδια γενέθλια.
Η εξήγηση
Αρχικά, ας υποθέσουμε ότι έχουμε μόνο δύο άτομα. Η πιθανότητα να έχουν διαφορετικά γενέθλια είναι 364/365. Αν προσθέσουμε και τρίτο άτομο, η πιθανότητα να έχει διαφορετικά γενέθλια από τους προηγούμενους δύο είναι 363/365. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, για κάθε νέο άτομο που προστίθεται στην ομάδα, η πιθανότητα να μην έχει τα ίδια γενέθλια με κάποιον από τους προηγούμενους μειώνεται.
Η πιθανότητα κανείς να μην έχει τα ίδια γενέθλια με κανέναν άλλον μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων ποσοστών για κάθε νέο άτομο που προστίθεται στην ομάδα. Στην περίπτωση 23 ατόμων, αυτή η πιθανότητα πέφτει στο 49,3%. Έτσι, υπάρχει 50,7% πιθανότητα να βρούμε τουλάχιστον ένα ζευγάρι ατόμων που να έχουν κοινά γενέθλια.
Η πιθανότητα να υπάρχουν δύο άτομα με γενέθλια την ίδια ημέρα ξεπερνά το 90% στα 41 άτομα και γίνεται 99% για 57 άτομα!
Άλλες εφαρμογές
Το παράδοξο των γενεθλίων δεν είναι μόνο ένα μαθηματικό πρόβλημα που ξαφνιάζει τους ανθρώπους. Έχει πρακτικές εφαρμογές, ειδικά στους τομείς της κρυπτογραφίας και της ασφάλειας δεδομένων. Το φαινόμενο αυτό δείχνει πώς, σε συστήματα με μεγάλο αριθμό δυνατών συνδυασμών, η πιθανότητα να συμβεί μια "σύγκρουση" (όπως η επανάληψη κάποιου αριθμού ή κωδικού) μπορεί να είναι πολύ υψηλότερη από ό,τι αναμενόταν. Αυτός ο τύπος σύγκρουσης μπορεί να είναι κρίσιμος σε προβλήματα ασφαλείας, όπως η εύρεση κρυπτογραφικών κλειδιών.