Το Παράδοξο του Βέλους

Το παράδοξο του βέλους του Ζήνωνα

Ποιος ήταν ο Ζήνωνας;

Ο Ζήνωνας ήταν ένας από τους αρχαίους Έλληνες προσωκρατικούς φιλοσόφους, μαθητής του Παρμενίδη. Γεννήθηκε το 488 π.Χ. στην Ιταλία, όμως έζησε μερικά χρόνια στην Αθήνα. Ο Ζήνωνας έχει μείνει στην Ιστορία λόγω των διάσημων «Παραδόξων του Ζήνωνα», μία σειρά, δηλαδή, φιλοσοφικών προβλημάτων. Παρά το γεγονός ότι τα Παράδοξα του Ζήνωνα διατυπώθηκαν τόσο παλιά, είναι ενδιαφέρον ότι το συγκεκριμένο παράδοξο συζητιέται ακόμα με μεγάλη ένταση σε περιοδικά και συνέδρια σύγχρονης Φυσικής.

Ποιο είναι το παράδοξο του βέλους;

Ιδέα:

• Παίρνουμε ένα βέλος το οποίο θεωρητικά κινείται προς μία κατεύθυνση.

• Γνωρίζουμε από τα Μαθηματικά και τη Φυσική ότι κάθε χρονική στιγμή το βέλος θα είναι ακίνητο.

• Όμως, όπως μια ευθεία αποτελείται από άπειρα σημεία, έτσι κι ένα χρονικό διάστημα μπορούμε να πούμε ότι αποτελείται από άπειρες χρονικές στιγμές.

• Για το χρονικό διάστημα, λοιπόν, που θεωρητικά κινείται το βέλος έχουμε τελικά άπειρες χρονικές στιγμές στις οποίες το βέλος είναι πάντα ακίνητο!

Πραγματική διατύπωση:

Η πραγματική διατύπωση του παραδόξου, του οποίου η διατύπωση σώζεται από τον Επιφάνιο είναι: «Ό,τι κινείται, κινείται από το σημείο που είναι, στο σημείο που δεν είναι. Αλλά δεν μπορεί να κινείται ούτε στο σημείο που είναι, ούτε στο σημείο που δεν είναι. Άρα τίποτα δεν κινείται».

Συμπέρασμα: Αν η κίνηση απαιτεί αλλαγή θέσης και σε κάθε στιγμή δεν υπάρχει αλλαγή, τότε η συνολική κίνηση είναι αδύνατη!

Στοχαστές όπως ο Bergson, ο James και ο Whitehead ισχυρίστηκαν ότι τα παράδοξα του Ζήνωνα δείχνουν ότι ο χώρος και ο χρόνος (στο παράδοξο του βέλους) δεν είναι δομημένα όπως νομίζαμε. Με απλούστερα λόγια, αρνήθηκαν ότι ο χώρος και ο χρόνος αποτελούνται από σημεία και στιγμές.

Τι τελικά αποδεικνύει ο Ζήνωνας;

Το συμπέρασμα αυτού του παράδοξου είναι ότι ο χρόνος δεν μπορεί να αποτελεί άθροισμα χρονικών στιγμών, όπως η αριθμητικοποίηση του επιβάλει, γιατί αν ήταν, μεταξύ δύο χρονικών στιγμών, θα μεσολαβούσαν άπειρες χρονικές στιγμές και έτσι το βέλος θα έπρεπε να καταλαμβάνει αντίστοιχους άπειρους τόπους, όπου σε κάθε έναν από αυτούς το βέλος θα ήταν ακίνητο.

Για όποιον θεωρεί πως ο χρόνος μπορεί να ψηφιοποιηθεί, να αριθμητικοποιηθεί, να χωριστεί σε διακριτές χρονικές στιγμές, καθεμία από τις οποίες μπορεί να ονομάσει με έναν αριθμό, (π.χ. χρονική στιγμή 3,2 sec) όπως πίστευαν οι Πυθαγόρειοι, η κίνηση είναι αδύνατη.

Μια συνήθης παρανόηση

Ο στόχος του Ζήνωνα δεν ήταν να προτείνει ότι δεν υπάρχει κίνηση, αλλά να δείξει ότι οι γνωστές σε εμάς υποθέσεις για τον χώρο, και τον χρόνο, έχουν λογικές αντιφάσεις.

Δείχνει, δηλαδή, το παράλογο στο οποίο οδηγείται όποιος προσπαθεί να περιγράψει τον κόσμο που ζούμε, με Mαθηματικά, διαιρώντας τον σε σημεία και χρονικές στιγμές. Μεγέθη όπως ο χρόνος μπορεί να είναι «συνεχή μεγέθη», οπότε η ψηφιοποίηση τους, η μαθηματικοποίηση τους, να είναι αυτό που κάνει την περιγραφή τους να οδηγεί σε ασάφειες, ή σε παράλογα συμπεράσματα.

Τα Μαθηματικά μπορεί να είναι ο μόνος τρόπος που διαθέτουμε ως πολιτισμός να περιγράφουμε με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια τον κόσμο μας, όμως αυτό δεν σημαίνει κατ' ανάγκη ότι είναι και ο σωστός τρόπος για να περιγράφουμε τον κόσμο μας σε όλες τις περιπτώσεις.

Η επίλυση του παραδόξου

Το παράδοξο στηρίζεται στην υπόθεση ότι:

➵ Ο χρόνος αποτελείται από άπειρες διακριτές χρονικές στιγμές.

➵ Η κάθε χρονική στιγμή δεν έχει διάρκεια.

➵ Η μεταβολή θέσης απαιτεί διάρκεια.

Έτσι, για να λυθεί το παράδοξο του Ζήνωνα, χρειάστηκε μια βαθιά μαθηματική επανάσταση: η διαμόρφωση της Θεωρίας των Ορίων και του Απειροστικού Λογισμού.

Ο Ζήνωνας ταυτίζει τη συνολική κίνηση με την άθροιση ακίνητων στιγμών. Τα σύγχρονα μαθηματικά δείχνουν ότι αυτή η εικόνα είναι ελλιπής. Η σχέση ανάμεσα στη «στιγμή» και στην «κίνηση» δεν είναι αθροιστική, αλλά οριακή.

Ο λογισμός, όπως θεμελιώθηκε από τον Newton και τον Leibniz, και αργότερα αυστηροποιήθηκε από τους Weierstrass, Cauchy, Dedekind και Cantor, εισήγαγε την έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας.

Αυτή ορίζεται αυστηρά ως το όριο της μέσης ταχύτητας όταν το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν. Αυτό το όριο μπορεί να έχει μη μηδενική τιμή, ακόμα κι όταν η στιγμιαία μετατόπιση τείνει στο μηδέν. Αυτό ακριβώς καταρρίπτει τον συλλογισμό του Ζήνωνα.

Στη σύγχρονη Φυσική η θέση ενός σωματιδίου είναι συνάρτηση του χρόνου. Η συνάρτηση x(t) μπορεί να είναι τέτοια ώστε η παράγωγός της υ(t) = x΄(t) να είναι μη μηδενική.