Υπερβατικοί και Υπερπραγματικοί Αριθμοί

Όταν οι αριθμοί υπερβαίνουν τον εαυτό τους… 

Εισαγωγή

Η ιστορία των Μαθηματικών μας έχει διδάξει ότι η επιστημονική πρόοδος δεν προκύπτει μόνο από νέους υπολογισμούς και τεχνικές μεθόδους, αλλά και από τη διαμόρφωση νέων εννοιών. Έννοιες που επιτρέπουν να απαντώνται ερωτήματα τα οποία προηγουμένως ήταν ασαφή και δυσνόητα. Δύο τέτοιες έννοιες, που συχνά συγχέονται λόγω γλωσσικής ομοιότητας, είναι οι υπερβατικοί αριθμοί και οι υπερπραγματικοί αριθμοί.

Οι Υπερβατικοί αριθμοί (Transcendental Numbers)

Ιστορική Αναδρομή

Η διάκριση μεταξύ αλγεβρικών και υπερβατικών αριθμών απέκτησε σαφή μορφή τον 19ο αιώνα, καθώς η αδυναμία τετραγωνισμού του κύκλου, υποδήλωνε ότι ο αριθμός πδεν ανήκει στον κόσμο των αλγεβρικών αριθμών. Η οριστική απόδειξη της υπερβατικότητας του π δόθηκε το 1882 από τον Ferdinand von Lindemann, ενώ λίγα χρόνια νωρίτερα ο Charles Hermite απέδειξε την υπερβατικότητα του αριθμού e.

 Πόσοι είναι οι υπερβατικοί αριθμοί;

Ένα από τα πιο εντυπωσιακά αποτελέσματα της Θεωρίας Αριθμών (Number Theory) είναι ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο, ενώ το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μη αριθμήσιμο. Το άμεσο συμπέρασμα είναι ότι σχεδόν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί!

Ωστόσο, η μαθηματική αυτή θεώρηση αντιτίθεται στην εμπειρία μας: Γνωρίζουμε με βεβαιότητα την υπερβατικότητα ελάχιστων αριθμών, όπως είναι ο π, ο e, ο ln(α) κ.α.

Από τη σκοπιά της Φυσικής, αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία. Τα φυσικά μεγέθη οφείλουν να είναι μετρήσιμα ή τουλάχιστον προσεγγίσιμα με πεπερασμένη ακρίβεια. Η υπερβατικότητα, όμως, είναι ιδιότητα που δεν μπορεί να ανιχνευθεί πειραματικά.

Υπερβατικοί αριθμοί και φυσικές σταθερές

Οι Υπερπραγματικοί αριθμοί (Hyperreal Numbers)

Ιστορική Αναδρομή

Η έννοια των υπερπραγματικών αριθμών εισήχθη τη δεκαετία του 1960 από τον Abraham Robinson, στο πλαίσιο της Μη-Τυπικής Ανάλυσης (Non-Formal Analysis).

 Το κρίσιμο χαρακτηριστικό της Μη-Τυπικής Ανάλυσης είναι η Αρχή της Μεταφοράς (Transposition Principle), η οποία εξασφαλίζει ότι κάθε πρόταση της κλασικής ανάλυσης που ισχύει για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει και στο υπερπραγματικό πλαίσιο.

Ένας υπερπραγματικός αριθμός μπορεί να είναι μικρότερος από κάθε θετικό πραγματικό αριθμό, χωρίς να είναι μηδέν. Παράδειγμα τέτοιου αριθμού είναι ο ε = [1/n]. Ο αριθμός αυτός που προκύπτει από μια ακολουθία δεν είναι πραγματικός, αλλά υπερβατικός.

Απειροστικά και φυσική διαίσθηση

Η Φυσική βασίζεται στην έννοια της στιγμιαίας μεταβολής. Παρότι η σύγχρονη μαθηματική θεμελίωση αυτής της έννοιας γίνεται μέσω ορίων, η Φυσική παραμένει συνδεδεμένη με απειροστικά χρονικά και χωρικά διαστήματα.

Οι υπερπραγματικοί αριθμοί επιτρέπουν μια εναλλακτική, αλλά πλήρως ισοδύναμη, μαθηματική διατύπωση: Η παράγωγος ορίζεται ως λόγος μεταβολών σε απειροστικά μικρό αλλά μη μηδενικό διάστημα.

• Baker, A. Transcendental Number Theory. Cambridge University Press.
• Hermite, C. Sur la fonction exponentielle (1873). Comptes Rendus de l'Académie des Sciences.
• Lindemann, F. Über die Zahl π (1882). Mathematische Annalen.
• Lang, S. Algebra. Springer.
• Robinson, A. Non-Standard Analysis. Princeton University Press.
• Keisler, H. J. Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. University of Wisconsin.
• Goldblatt, R. Lectures on the Hyperreals. Springer.
• Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. McGraw–Hill.
• Penrose, R. The Road to Reality. Oxford University Press.